伦敦国王学院EEM笔记：Sensors And Actuators 传感器和执行器

Introduction

传感器：接受信号转换为电信号（比如图像通过摄像头转化为电信号）进行处理。

执行器：执行动作，如驱动电机。

estimation：传感器接收到的可能并不是我们想要的数值，需要模型转换；或者传感器精度不高存在误差，所以 estimation 估计十分重要。

两个 error：model error（来自所选模型，类似 AI 中的 bias 概念吧）和 measurement error（来自测量误差）。

常用术语：

• plant / process：要控制的系统。
• inputs outputs
• controller：产生控制信号的设备
• control law：控制信号产生的方案
• control system：至少包含 controller 和 plant
• feedback control：有反馈控制
• open-loop control：无反馈控制

衡量系统性能的参数

• speed of performance
• stability
• accuracy

两个参数分类：

• static：静态参数，工程实践中常用，比如精准度，测量范围等。
• dynamic：动态参数，根据工程理论定义，通常描述设备在变化条件下的行为，比如阻尼比、自然频率、响应时间等。

对于动态类参数，一般会用时域微分方程动态模型 differential-equation 和频域传递函数动态模型 transfer-function。其中常用两种模型：一阶导模型和二阶导模型（简单震荡器模型 simple oscillator）（我猜这两个模型就是考试重点）。

时域的动态参数比如上升时间 rise time，峰值时间 peak time，下降时间 settling time，百分比过冲 percent overshot 等。

频域动态参数比如带宽 bandwidth，静态增益 static gain，谐振频率 resonant frequency，共振幅度 magnitude at resonance，阻抗 impedances，增益裕度 gain margin，相位裕度 phase margin 等。

动态模型

一阶导模型：

τ：时间常数

k：dc 增益

y：输出

u：输入

拉普拉斯变换后的传递函数：

二阶导模型：

ζ：阻尼比 damping ratio，描述系统振荡受到扰动 disturbance 后如何衰减的无量纲测量。

阻尼是减少系统震荡冲击的机制，通过吸收能量来保证系统的稳定性和安全性。

传递函数：

图像如下。还有一些需要了解的概念：

rise time：系统初次达到稳定状态值 steady-state value 所用时间，图中稳定状态值为1.0，用时 T_r.

Modified rise time：系统初次达到 90% 稳态值的时间，T_rd.

Delay time：达到 50% 稳态值的用时。T_d.

Peak Time：达到第一个峰值的用时。T_p.

Settling Time：系统稳定在稳态值的一定百分比范围内（通常是2%）所用时间。T_s，这个时候我们可以说系统达到稳定 stability 了。

Percentage Overshoot：超调，即系统的状态超过稳定值。图中震荡状态离稳态距离最远的一次震荡占稳态的百分比 $$\frac{PO}{100}$$。

Steady-State Error：期望稳态值和实际稳态值之间的偏差。我们可以看到这个震荡模型直到最后也没有完全稳定下来，还是在一定范围内震荡。

传感器频率应当比信号频率快4倍（最好10倍）以上才可以精准测量。

例题1：运用了传感器频率应当高10倍的知识点以及计算时间常数的公式。

例题2：这道题用到了车辆四分之一模型，二阶导模型原式，还有 PO 和 ζ 的转换公式（红框上面那个）。

Frequency-Domain Specifications

用频域的一些方法评估传感器性能。

Gain 增益：输出信号振幅和原信号之间的比率。

Phase angle 相位角：输出信号相对原信号滞后或提前。

对于简单振幅系统，增益最大时相应频率 。当 时，Gain=1/(2ζ)，phase lead=-π/2.

Linear and Non-linear system

可以用线性微分方程建模的系统是线性系统，满足类似 T{ax1+bx2}=ay1+by2 的线性性质。

非线性系统通常有如下两个重要性质：

• Saturation 饱和：如下图上部分。
• Dead zone 死区：如下图下部分，系统对激励没有响应的部分。

迟滞（Hysteresis）：输入输出曲线随着输入方向变化而改变。

Frequency Creation：线性系统稳定状态下会产生和正弦激励同频的输出，而非线性系统可能会产生新的频率。

这道题比前两道简单一些。给定公式：

证明该非线性系统输出产生了新的频率分量，即 frequency creation。公式还原后代入线性的输入信号求输出。

为了缓解非线性问题，可以采取如下预防措施：

• 避免在大范围的信号电平上操作设备（wide range of signal levels inputs）。
• 避免宽频带操作（wide frequency band）。
• 使用不会产生大机械运动的设备（large mechanical motions）。
• 尽量减少库伦摩擦和粘滞，比如使用润滑剂（coulomb friction and stiction, e.g., using proper lubrication）。
• 避免松动的接头和齿轮联轴器，即使用直接驱动结构（loose joints and gear coupling, i.e., using direct-drive mechanisms）。
• 尽量减少对不良影响的敏感性（sensitivity to undesirable influences）。
• 减少损耗（wear and tear）。

仪器性能参数

1. 灵敏度（Sensitivity）

仪器对输入信号变化的响应程度。具体来说，它是输出信号相对于输入信号变化的比率。

灵敏度通常通过改变输入并观察输出的变化来测量，可以用单位输出变化/单位输入来表达（例如，伏特/卢克斯，牛顿/米）。

下题中，设备整体的灵敏度 = 数字输出精度 / 光信号输入精度；单独对于 ADC 来说的敏感度 = 数字输出精度 / 电信号精度。

2. 信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）

测量信号强度与背景噪声强度的比例，通常以分贝（dB）表示。

，>=10 最佳。

3. 动态范围（Dynamic Range）

仪器可以测量的最小值和最大值之间的比率，表明了仪器能处理的最弱和最强信号的范围。

4. 分辨率（Resolution）

仪器能够区分的最小的输入信号变化，是衡量仪器精密度的重要指标。

5. 偏置（Offset, Bias）

仪器的零点偏移，需要校准来修正。

6. 静态校准曲线（Static Calibration Curve）

稳态条件下输出随着输入的变化。

7. 漂移（Drift）

• 零点漂移（Zero Drift）：在没有输入信号时，仪器输出随时间发生的变化。
• 全量程漂移（Full-Scale Drift）：在最大输入信号下，输出随时间的最大变化。

8. 频率特性

• 有用频率范围（Useful Frequency Range）： 增益稳定，相位角接近 0 的有效工作范围，一般是信号主频率的一部分（如 1/2 或 1/5）。
• 带宽（Bandwidth）：仪器可以有效响应的最大范围和响应速度，应当为信号主频率的兴趣点（interest）的几倍。

Estimation from Measurement 估计测量误差

误差分类

误差可分为三类：

1. 单点数据误差 (Error in a Piece of Data)
   • 单个测量值与真实值的偏差。
2. 测量误差 (Measurement Error)
   • 由测量过程引起的误差。
3. 仪器误差 (Instrument Error)
   • 由仪器自身特性导致的误差。

误差计算公式：
Error = (Instrument reading) - (True value)

Correction = - Error

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或者分为：确定性误差 vs. 随机误差：

1. 确定性误差 (Deterministic/Systematic Errors)
   • 可预测和校正的误差，例如校准误差。
2. 随机误差 (Random/Stochastic Errors)
   • 由于环境或传感器限制造成的随机波动。

误差的合并通常使用 均值误差 (Mean Error)、标准差 (Standard Deviation) 和 置信区间 (Confidence Interval) 进行描述。

精确度 (Precision) 计算公式：$$Precision = \frac{Measurement\ range}{\sigma_s}$$ (其中 是标准差)

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误差估计方法

最小二乘估计 (Least-Squares Estimation, LSE)

最小化数据点与估计模型的平方误差。

公式：$$\hat{m} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} Y_i$$ 感觉就是直接求平均。

下面是一道例题，非常简单，就是考察标准差和方差计算公式的。

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Least Square Line Estimate

根据散点数据拟合出一条线，使得误差最小化。

假设最终拟合的线是 Y=mX+a, m 和 a 的计算公式如下：

Y 和 X 应该是指用每一个样本点进行计算后求和。

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最大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)

通过最大化似然函数来估计参数。

例题1：比如一个序列是 [A,A,A,A,A,A,A,A,R,R] 求A的概率。

最大化可能概率，则为0.8.

例题2：求平均值和方差。

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估计质量评估 (Quality of Estimate)

其实就是调整后的 LSE。

MSE：均方误差。

RMSE：均方根误差。

R-squared：决定系数。

M 是一个单独设定的调整参数，比如2.

没有答案，不过我觉得做法就是：SSE 求每个点到平均点的距离求和；选定一个拟合线就是根据 m 和 a 的计算公式求。

Analog Sensors

传感器的传感、应用阶段如下：

第一个 sensor 的作用主要是模拟信号电信号转换。

transducer 的作用主要是传感器将信号转换为对应的测量值。

然后第三个系统进行信号处理，输出信号应用。

根据是否需要源输入，传感器分为三种：

• pure transducer：不依靠外部电源，比如通过物理效应供能。
• active transducer：传感器需要外部电源才能工作。
• passive transducer：传感器不需要外部电源，自身有电源。

一些常见传感器

Potentiometer

电位器，类似滑动变阻器。除了调配输入电压，也可以起到通过电压反推位移，测量长度或弧度的作用。

v=kx 输出电压和电位器位移成正比，很简单。

旋转电位器 Rotatory Potentiometers：

输入电阻 $$R_0=\frac{\theta}{\theta_{max}}R_c$$

根据电流可以推出：$$\frac{v_{ref}-v_0}{R_c-R_0}=\frac{v_0}{R_\theta}+\frac{v_0}{R_L}$$

根据这两个公式可以推出：

当 RL/RC 比较小，或者θ/θmax 比较大的时候误差比较大。因此要增加 RL/RC，或者只衡量 θ/θmax 的小值，或者只校准 calibrate 旋转电位器的一部分作为线性度数。

总而言之，电位器是一种有源器件 active device，需要外部电源才能使用。主要缺点在于：需要外力移动电位器；移动电位器的摩擦 friction 损失能量，电阻发热和内部参考电源损失能量。

电位器的重要参数：stroke 行程（电位器能移动的距离），resistance，参考电压，power (at full resistance).

分辨率 Resolution：比如这个电位器有 N 个可以变换的档位，分辨率 r=100/N %.

敏感度 Sensitivity：移动一点 θ，会对输出电压产生多少影响。

总而言之，电位器的优点如下：

• 便宜，简单
• 输出高电压，不需要放大器
• 换能器的阻抗 Transducer impedance 可以通过改变线圈电阻或者供能电压来简单改变。

缺点：

• 需要外力移动进行测量。
• 移动时有摩擦等能量损耗。
• 电阻散热，内部电压的能量损耗。
• 无法测量高频测量量。
• 线圈匝数限制测量长度和分辨率。
• CL 太小，误差会很大。

Optical Potentiometer 光学电位器

物体移动，挡住一部分光，其下方的光学电位器材料就会从绝缘状态变成导电状态。

同样的，Rc/RL 会影响电位器精度，越大越好。

Piezoelectric Sensors 压电传感器

无源传感器 passive sensors，不需要外部电源驱动（不过可能需要一些信号条件辅助，比如需要外部电源的 charge amplifier 一起使用。）。比如打火机上的开关，一压就打电火花。

阻抗：$$z_s=\frac{1}{j\omega C_s}$$

敏感度：$$S_q=\frac{\triangle q}{\triangle F}=\frac{1}{A}\frac{\triangle q}{\triangle p}$$ ，A 是 surface 面积，F 是施加的力，q 是单位面积上施加的力。

电压敏感度：$$S_v=\frac{1}{d}\frac{\triangle v}{\triangle p}$$

Sq=kSv，k 是介电常数，C=kA/d，dq=Cdv.

例题：

Charge Amplifier

压电信号不能使用低阻抗设备获取，因为压电传感器本身是一个高阻抗设备，输出到低阻抗设备会导致信号快速衰减、误差严重等问题。

因此我们需要一个电荷放大器，不仅可以将压电信号产生的小电荷放大，其自身阻抗也很高。

电荷放大器一阶 RC 电路时延视为：

Rf Cf 都是电荷放大器的电感电容 feedback。

电荷放大器的传递函数公式：

这个东西越接近1，说明精度越高。

例题：

总而言之，压电传感器响应速度快，尺寸小，passive，操作相对简单；采用合适的材料可以提高灵敏度；外来影响也可以轻松通过电荷放大器等方式补偿。但是缺点在于输出阻抗高，受温度影响大，其多功能可能相互影响（如：杂散电场会影响传感精度）；不适用于低频或者直流效应。

还有一种压电传感器应用是压电加速度计 Piezoelectric Accelerometer，能测量高频加速度变化。

Variable Inductance Transducers

电感传感器，使用电磁感应原理。

分为三种：

1. Self-induction transducers 自感
2. Mutual-induction transducers 互感
3. Permanent-magnet (PM) transducers 永磁

Self-induction transducers

如下图，当一个铁片 / armature 电枢相对磁线圈移动的时候，磁通场 flux field 就会扩张或者收缩，从而产生电压。

线圈的自感系数 $$L=N^2/R=N^2\mu A/l=N^2\mu G$$

N：圈数

R：电感电路的磁阻 reluctance，$$R=1/\mu A$$

μ：磁导率，取决于线圈和旁边的介质

A：线圈截面积

l：线圈长度

G：A/l，几何形状因子

所以可见，线圈匝数，长度，截面积，磁导率等都会影响到自感系数。

Mutual-induction transducers

互感就是两个线圈互相影响。

A 端输入，B 端输出。armature 电枢的距离改变也会影响到 B 端输出的变化，即我们可以利用这个效应进行测距。

互感系数 mutual inductance $$M=K\sqrt{L_1L_2}$$ ，K 是耦合系数 coefficient of coupling.

应用：比如 LVDT (linear variable differential transformer) 线性可变差动变压器，将机械运动，振动等转为电信号。下图是一个测距应用。

LVDT 优势在于没有摩擦误差，无接触；分辨率取决于数据采集系统的分辨率。

Permanent-magnet (PM) transducers

区别是通过一个永磁铁，产生均匀而稳定的磁场。

总而言之，电感式传感器可以在任何环境条件下工作，精度高，工作范围稳定，寿命长。缺点在于工作范围取决于结构和温度条件，以及取决于线圈磁场。

Signal Conditioning 信号调节

信号调节包括 filtering 和 amplificating，滤波是为了更好的信噪比，放大是为了获得更好的信号。

如下图，通过信号放缩将待调制信号调节到载波上。

Strain Gauges 应变仪

通过测量应变，测量力和扭矩。应变 strain 是施加给物体力，使得物体产生形变的现象。

而且很薄，可以附着在很多材料上。

想要测量应变，需要：1. 好的空间分辨率；2. 不受环境影响；3. 对微小变化产生高速响应。

满足如上条件的设备是电阻应变计 electrical resistance strain gauge. 。

Electrical Resistance Strain Gauge 电阻应变计

导体形变，电阻值会发生变化，基于这一特性而设计。

假设我们对一个长度 L，直径 D 的圆柱体施加一个轴向拉力 T，就会产生形变。轴向应变 Axial strain ε 计算公式如下：

E：该材料的杨氏模量 Young’s modulus

σ：轴向应力 axial stress，牛顿/每平方米。

A：横截面积，$$A=\frac{\pi D^2}{4}$$

单位应变：单位长度的应变 dL/L。

泊松比 possion’s ratio：横向与轴向应变之比 $$\mu=-\frac{dD/D}{dL/L}$$

导体电阻计算：$$R=\rho \frac{L}{A}$$ , ρ是材料电阻率 resistivity

可以根据电阻变化值测量应变：$$\epsilon = \frac{1}{F} \frac{\triangle R}{R}$$ ，F 是应力常数 strain factor 或者叫测量因子 Gauge factor。

应变计适用于小而精确的范围读数。

应用：

Wheatstone bridge 惠斯通电桥

已知其他三个电阻，求第四个电阻的计算方法。

惠斯通电桥的灵敏度计算：$$S_c=\frac{r}{(1+r)^2}V_s$$

可见，灵敏度随着 Vs 的增加而增大。但是 Vs 受到最大允许功率 的限制，最大值：

Sensitivity $$S_c=\frac{r}{(1+r)}\sqrt{P_gR_g}$$ ，r=R2/R1，此时 $$V_s=(1+R)\sqrt{P_gR_g}$$

例题1：

首先可以根据 $$\epsilon = \frac{1}{F} \frac{\triangle R}{R}$$ 公式求出电阻变化量。

单桥臂变化的情况：

4 桥臂变化的情况

例题2：

1. 灵敏度计算公式。

2. 最大灵敏度计算公式。

我没用到应变因子，不知道算的对不对。

Shaft Encoders 轴编码器

继续之前，我们先回顾一下 Sensor 部分学到的内容们。

Sensor：将物理现象转化为信号。

Transducer：换能器，将一种形式能量转化为另一种。

数字换能器相对于模拟换能器来说，更节能，抗噪声干扰能力更强，更廉价，可以存储大量数据和快速数据传输，也能一定程度上处理高精度和高速度的信号。

接下来聊到轴编码器，这个我们做实验用到的东西。它可以测量角位移和角速度。

如何测量？我们放入一个编码盘，编码盘转动的时候上面的轨道会影响传感器从而产生信号。

编码盘主要分为两种：

Incremental Encoders 上面是均匀的，我们用两种方式计算角速度和角加速度：第一是记录起终点，看中间有多少脉冲；第二是通过计时和脉冲数来算速度。

Absolute Encoders 不同位置有不同的编码含义，同时有多个传感器测量不同半径的多个轨道数据并汇总为一个二进制数来确定当前转到哪个位置了。通常用来测量 fractions of a revolution。

通常轴传感器有四种实现方式：

• Optical (photosensor) method 光学（本课程关注重点）
• Sliding contact (electrical conducting) method 接触导电
• Magnetic saturation (reluctance) method 磁饱和，磁阻
• Proximity sensor method 接近传感器法

Incremental Optical Encoder

如下图，可能有一或多条轨道 circular tracks，每个轨道上有一个光发射器和一个光传感接收器。

每个 circular track 上面有一定规律排列的 transparent window 透明窗口。

1. 对于单轨道的增量光学编码器：假设一个窗口长度为x，两个传感器分别放在这个窗口的 1/4 （a quarter-pitch）3/4 长度位置，间隔半个窗口。具盘子上还有一个 reference window 用作转完一圈的参考。
2. 双轨道增量光学编码器：内环相对外环 offset = a quarter pitch

如何将旋转方向纳入判断？两种圆盘分别对应图中两种方式。体实现方法可以通过相位角，两个信号的高低转换状态判断。

光学传感器是被挡住的时候导电。对于1轨道增量编码传感器，如果红色传感器处于高电平状态，绿色从高到低，说明顺时针旋转；反之说明逆时针旋转。或者，红色传感器由低到高上升沿时，绿色传感器处于高电平状态，说明顺时针。

或者其他理解方式：两个传感器之间只差了1/4个周期所以可以判断出是谁领先了谁。绿色领先红色，说明盘子由绿色传感器方向转到红色方向，顺时针.

还有另一种增量光学编码器的实现方式:直线型 Linear Encoder，不是圆盘型移动而是直线型左右移动。上面的 Code Plate 移动，下面的 Phase Plate 固定。

Displacement Measurement 位移测量

圆盘型编码器可以测角速度，而直线型编码器可以测速度。根据采集到的规律脉冲的宽度来衡量。脉冲宽度小频率大，说明速度快。

θmax是能测量的最大角度，而M 是能采集的最大脉冲数。

位移分辨率 displacement resolution$$\Delta \theta=\theta_{max}/M$$ 。或者用数字分辨率和物理分辨率中更差的那一个表示（值更大的一个）。

如果编码器用 r 位二进制数表示位置，拿出一位作为符号位，那么 $$M=2^{r-1}$$

数字分辨率 digital resolution$$\Delta \theta_d=\theta_{max}/2^{r-1}$$。一般 θ=±180或者360，数字分辨率就$$=180/2^{r-1}=360/2^r$$

物理分辨率 physical resolution 和 windows 数量 N 有关系。物理分辨率$$\Delta\theta_p=\theta_{max}/N$$

如果采用正交信号编码方式 Quadrature signals，即：两个传感器，间隔90度相位，那么就可以编码四个不同的信号：高电平，低电平，上升沿，下降沿。物理分辨率提升到=θmax/4N

例题：

理想设计增量编码器：物理分辨率=数字分辨率。假设采用正交信号编码方式（好像是只影响物理分辨率，不影响数字分辨率）：

Step-Up Gearing

利用齿轮的原理，大盘转一圈带动小编码盘转多圈。

p 是 step-gear ratio。

关于数字分辨率部分的解释：比如现在给定了r位寄存器供我们存储角度数据。那么哪怕用小齿轮增加了精度，对于原物体（大齿轮），我们仍然只能用r位寄存器存储其角度信息来存储数据。但是对于小齿轮，小齿轮的角度相对于大齿轮来说精度更高，所以如果我们用同样r位数据表示小齿轮的精度，就能表示出物体角度的更高精度。

不过齿轮的实现方法会引入一个新误差：backlash 齿隙。反转方向的时候齿轮启动会有一个延迟误差。一般齿隙误差需要小到分辨率的几倍才可以接受。

例题：

对于没有齿轮的情况：

总地来说，位移分辨率选择更差的一方作为最小分辨率。所以位移分辨率0.03

对于有齿轮的情况：

1. 相对于物体：物理分辨率变成0.003，数字分辨率不变，位移分辨率0.005.
2. 相对于小编码盘：位移分辨率0.003.

Velocity Measurement 速度测量

主要有两种方法：一种是数指定时间内有几个脉冲信号；另一种是一个脉冲信号测时间花了多久。

第一种方法公式：

N 是一圈一共多少个脉冲，T 是指定时间，n 是 T 时间内接收了多少脉冲。注意如果使用正交信号还要/4.

分辨率：

第二种方法公式：

f 是时钟周期频率，m 是两个相邻窗口之间用了多少个时钟周期。同样正交信号的话再/4。

分辨率：

注意：上面两个分辨率给出的是绝对分辨率计算公式。而百分比分辨率需要在这两个分辨率基础上再/角速度。

此外，如果是 gear 的应用，对于编码盘来说两个速度公式和分辨率公式都是直接 /p 就行。

例题：

我的算法：就是分别求出△$$\omega/\omega$$.

i)

ii) 类似，求得 0.02% 和 0.5%

老师给的计算方法如下：

a) Pulse-counting 方法：我们盘子的转速是1圈/s 也就是 500 个脉冲/s，但是我们测量时间周期是0.1s，也就是说最小一次也会测到50个脉冲，如果下一次测得51个脉冲，这是我们能感知到的最小变化，也就是1/50.

b) Pulse-timing 方法：类似，我们求出两个脉冲之间的相差时间周期，然后根据给定的时钟频率（一秒时钟跳多少下）算出两个相邻的脉冲之间时钟会跳多少下。时钟的一个周期内发生的脉冲变化，就是我们能感知到的最小分辨率。

当速度比较小的时候，pulse-timing 方法明显精度更高；但是当速度变大的时候，pulse-count 方法一个周期内能测得的脉冲数量更多，所以能感知到的精度更精确，而 pulse-timing 方法一个固定的时钟变化范围内，能测得的脉冲数量变化越来越少了，因为时钟周期速度相对于脉冲速度慢了，所以 Pulse-count 方法精度更高。

Absolute Optical Encoder

不同角度有不同编码内容，可以快速判断当前所处位置。

半径最小的是 LSB，半径最大的是 MSB。

如图，可能有很多位在切换扇区的时候会同时发生变化，所以如果传感器没对齐，或者盘子印刷误差比较大，或者环境因素，极有可能通过两个多位变化的扇区时会出现错误读数，比如从000到111，可能中间会出现010，110。

因此引入了一种码排列方式：格雷码。相邻的两个扇区之间的过度 transition 只有一位变化。

绝对光学编码器的分辨率受轨道数量影响，$$\Delta \theta = 360/2^n$$

增量编码器相比绝对编码器，必须一直供电，增量编码器一旦断电就丢失之前的存储了，再次上电也必须找到起始点才能开始记录；而绝对编码器无论在什么位置开机都能知道当前角度扇区，需要读数的时候供电就行。

此外，绝对编码器造价比增量编码器贵一倍多，因为生产工艺复杂，需要的传感器数量也大幅增加。

例题：

该编码器的周长：100π

300mm的分辨率：300/100π

300mm长度上的脉冲数：2000*300/100π

Error 误差来源

主要误差来源：

• quantization error 量化误差，因为字长限制 word size
• assembly error 装配误差，比如旋转偏离中心
• coupling error 联轴器误差，比如齿轮间隙，打滑，配合不紧等等。
• structural limitations 结构限制，由于负载造成盘和轴变形。
• manufacturing tolerances 制造公差，由于印码不准确，传感器定位不准确等。
• ambient effects 环境误差，比如光照温度湿度杂质烟雾振动等。

Hysteresis error

由于旋转方向而产生的误差。比如之前 step gear 我们知道有间隙 backlash，所以反向旋转启动的时候会有误差。此外还有可能由延迟，噪声信号等影响。

Eccentricity Error

由于实际旋转中心不在圆心导致的偏心误差。图中的 e 是偏心值 eccentricity，而由此引发的 △θ 误差就是偏心误差。

产生偏心误差的原因：

• shaft：轴本身旋转轴线不在几何中心，比如轴歪了。
• assembly：编码盘中心没有正确对准轴中心。
• track：轨道的中心不在盘中心。
• radial：径向，轴和轴承之间的微小松动导致编码盘在径向方向上有左右晃动。

前三个都是用首字母表示，最后一个用 e_p 表示。

这四个误差的均值和标准差利用如下公式求出总的均值和标准差。

例题：

a) 利用公式求出总均值和标准差，然后 $$\mu+2\sigma$$ 是对应的高斯分布范围。

求出来置信区间96%范围内的偏心误差是0.36mm.

b) 如何判断偏心误差影响大不大？通过计算偏心误差带来的角度误差和分辨率的值，如果偏心误差是分辨率的10倍以上，那么影响就比较大。

根据偏心误差求角度误差：

对于角度比较小的情况，可以推导出：

别忘了如果要计算百分比角度误差还需要/θ，结果=e/r。

不过一般实践应用都不会这么用，因为 e 相较于 r 实在太小了，所以一般是将 θ 视作 π 求最大误差。这种情况下，$$\Delta \theta = 2e/r$$

因此求出偏心角度误差（这里求的是最大误差，而不是百分比偏心误差） eccentricity error = 0.0144 rad=0.083°

分辨率：360/(4*1000)=0.09°，百分比偏心误差最大都快接近10倍的分辨率了，已经挺大了。所以说影响还是挺大的。

Electric Motors Introduction 电机介绍

电机电机，简单说就是将电能转换为机械能。

Classification

一般用两个维度区分：连续驱动还是增量驱动；DC 驱动还是 AC 驱动。

有刷电机和无刷电机的解释：这两部分电机都包含线圈和永磁铁，包含定子和转子，只是原理不同。

有刷电机 brushed motors：磁铁是定子 stator 不动，线圈是转子 rotor 转动。转到合适位置的时候线圈相应地切换电流方向从而产生不同的磁极，与永磁体形成吸力或者斥力来维持一定的速度转动。

有刷电机与无刷电机的区别，就是这么简单明了:_有刷电机和无刷电机的区别-CSDN博客

而无刷电机 brushless motors 相反，线圈是定子，中间永磁体是转子。线圈通电给永磁体一个旋转的力矩，同时传感器检测永磁体的位置动态改变线圈的电流方向。

stepper motors 步进电机原理上和无刷电机很像，但是无刷电机是通过控制线圈切换电流方向速度来控制转速，步进电机则是通过指定一定的脉冲数来控制永磁体旋转一定的角度，因此得名步进电机。

Induction Motor 感应电机/异步电机：首先定子是三股线圈绕组而成，会通上三相交流 AC 电。然后定子是铁棒组成的一个类似仓鼠笼的结构，在旋转的定子磁场的影响下被切割也会产生磁场，从而以略低于定子磁场旋转的速度进行旋转。

Synchronous Motor 则是可以实现和磁场旋转速度完全一致的转速进行旋转。实现方式是转子有外接直流电源进行驱动，以及转子不是鼠笼结构了。所以同步电机没有外接电源的情况下无法像异步电机一样自启动，但是启动后可以和磁场同样速度转动。

Common Motors Introduction

Piezoelectric Motor 压电电机

输入电压，输出机械运动。

电路使得压电材料产生声波或者超声波振动 acoustic or ultrasonic vibrations，进而产生直线或者旋转运动。

Ultrasonic Motor 超声波电机

电机中没有线圈和永磁体，是定子转子通过摩擦传动的。

输入超声波频率电信号，定子压电陶瓷随着高频电压的幅值变化膨胀或收缩，从而引发共振 resonance 促使定子更激烈振动.，通过摩擦力传递给与定子紧密连接的转子来驱动转子旋转。

定子和转子的摩擦力控制有两种方式，traveling-wave vibration 和 standing-wave vibration 行波振动和驻波振动。

Inchworm Motor 尺蠖电机

有点像虫子。

2 是 motive crystal 动力压电晶体，3 是 locking crystal 锁定压电晶体。2 通电延长，3通电锁定抓住杆子。

一开始左侧的 locking crystal 通电抓住杆子，然后中间的 motive crystal 通电延长让杆子左移，然后右侧的 locking crystal 通电抓住杆子，左侧放开，然后中间的 motive crystal 断电收缩，使得杆子一直在向左位移。

Thermo-magnetic Motor 热磁电机

某些材料加热温度超过居里点 Curie point 后，就会失去永磁特性，降温又会降回来。失去永磁特性的时候可以被感应磁性替代 replaced by induced magnetism，从而产生位移。但是这种电机效率极低。

DC Motors 直流电机

之前已经简单介绍过，直流电机主要分为两种，Brushed and Brushless DC，有刷电机转子是通电线圈，无刷电机定子是通电线圈。

定则

电流方向根据右手大拇指定则 Right hand grip rule 判断，四指沿着磁场方向（N->S）握住，大拇指就是电流方向。

同样我们也可以根据电流方向推断出磁场旋转方向。

左手定则 Left Hand Rule：用于电动机，通电和磁场的情况下判断产生力的反向。左手大拇指，食指，中指构成一个三维坐标，中指是电流方向，食指是磁场方向，大拇指是力方向。

右手定则 Right Hand Rule：用于发电机，别和左手定则搞混了，有磁场和导体切割磁感线的情况下判断感应电流 induced current 方向。大拇指还是力的方向，食指还是磁场方向，中指还是电流方向。不过是和左手定则完全相反的。

Brushed Motors 有刷电机

最早的一种电机形式。

stator 是磁铁，rotor 是线圈。其实工业实际应用中，rotor 的磁铁一般也不是用永磁体，而是用线圈绕组产生的电磁铁替代，可能是更方便调节。

如下图所示的结构。非常巧妙，转完半圈正好线圈的电流方向会改变，磁场方向也改变，受力方向还是和之前旋转方向一致。

旋转方向通过洛伦兹力 Lorentz force 也就是左手定则判断，注意这里使用的磁场方向是 stator 的从右到左的磁场方向。

F=ILB，I 电流，L 导线长度，B 磁场强度。

反电动势 back electromotive force：$$V_b=Blv$$，v 是导体移动速度。

torque 力矩计算公式：

上面只是简化版结构，为了确保功能正常运行（比如万一卡在中间怎么办）需要更多的电枢回路 armature loops。

而且多线圈绕组，扭矩量级也更大了，也更稳定了。

有刷电机初始成本比较低，控制简单，可靠性高。

但是寿命比较短，长时间高强度使用就需要维护，比如更换电刷 brushes 弹簧 springs，清洁替换变向器 commutator。

Brushless Motors 无刷电机

实现方法和有刷电机相反，rotor 是永磁体，stator 是绕组线圈并且周期性切换方向。一般应用于电钻，无人机，CD 驱动，电脑风扇等。

具体实现方式其实也分为两种，转子在定子线圈内的叫 Inrunner Brushless DC，转子在定子外的叫 Outrunner Brushless DC。

无刷电机生命周期 life span 更长，不怎么需要维护，没有电火花，安静，高效。但是初始花费高 initial cost，更复杂，而且相对有刷电机，需要速度控制器 motor speed controllers 控制速度，方向，起停，换向等等，有刷电机有一个精巧的结构可以自动换向。

总地来说，DC Motors 优点在于精确的速度控制（给定精准的电压值来控制速度），而且无论是实现还是理解上都很简单。

缺点在于维护比较麻烦 High maintenance，比如电流输入旋转区域的 mechanical interface，还有 commutator。以及容易受到污染 Susceptible to Contaminants。

例题：

DC Motor Equations (Separately Excited)

这里指的是转子和定子分开用两个电路激励的情况，分励直流电机。

km 是左侧定子通电产生磁场的转矩常数（只要定子电流稳定不变，km 就不变），k’m 是反电动势常数吧。一般来说 km k’m 是相等的。

TL 应该是外部反向负载，比如要驱动某些物体转动就会受到一些阻力，以及摩擦力损耗等。

如果电能到机械能转化 electrical-to-mechanical energy conversion 过程没有能量损耗，根据能量守恒定律 energy equivalent equation，有：

如果假设两侧电流都是稳定值，也就是电压公式中的微分部分=0，可以推导出：

又有：

omega0 是无负载稳态角速度（无需对抗外部负载，仅需对抗内部摩擦），Ts 是刚启动时的磁力矩。

总结：

功率的另一种表达形式（结合角速度和力矩之比求和=1的公式）：

可以求出当 omega m=omega 0/2 的时候，功率最大。

总结：

DC Motor Equations (Combined Excitation)

复励直流电机。

一个电压同时给定子和转子，也就是磁场绕组 field winding 和电枢绕组 armature winding 供电。

主要分为如下三种：

Shunt-wound Motor 并联电机

结构如下图。

反向电动势 back e.m.f. 直接作用于 supply voltage，因此速度控制性很好 speed controllability。

以及速度调节性好 good speed regulation，因为对于转矩的变化，敏感性比较低，所以设定好转速就比较稳定。

Series-wound Motor 串联电机

相比起并联点击，速度控制性不好。当速度比较低，反向电动势比较小的时候，电流相对较大，会产生一个很大的转矩，所以比较适用于风车，水闸这种需要启动力矩特别大的应用。在这种情况下，近似视作恒定功率。

Compound-wound Motor 复合电机

结合如上两种电机，在两种极端情况中间取得不错的性能。

例题：

Amature Control

Field Control

对于 Field Control 通过改变励磁绕组中的电流 if 实现控制，之前有介绍过如下公式：

适用场景：在变速、变转矩情况下仍能维持恒定功率运动 constant power drives under varying torque–speed conditions。因为 P=Tw，假设现在增加输入电压，磁场增强，转矩 T 变大，但是同时反向电动势也增加，速度反而下降，输出功率变化不大。

DC servomotor system

伺服电机，可以按照指定的轨迹进行运动，运动过程中参照传感器反馈，比如角度，位置等对方向和速度进行调整。现在的伺服电机一般是光学编码器原理（和我们的 shaft 大作业有异曲同工之妙）。

因为我们需要对磁场或者电枢电路进行控制，所以就需要放大器实现。一种方式是线性放大器连接但是这种方式并不好，能量耗散太大，还需要风扇等降温。

另一种实现方式是通过 PWM 放大器实现，可以是微控制器内部的 PWM 电路或者 driver IC 驱动 IC 芯片发出，现代的 PWM 放大器能量损耗接近0%。

具体实现简单电路如下：

AC Motors 交流电机

• an outside stationary stator having coils supplied with alternating current to produce a rotating magnetic field;
• an inside rotor attached to the output shaft that is given a torque by the rotating field.

定子接 alternating current 交流电驱动转子旋转。具体分为异步电机（感应电机）和同步电机。

Stator

定子电线是三相绕组 three phase winding 实现的。

定子拆解结构如下，定子是由一片片定子片摞起来组成一个圆柱体形状（这样比实心铁柱能量损耗小），然后电线绕组放入定子槽内，组装完成后再外接电源。

Rotor

定子产生变化的磁场驱动定子转动。

Induction Motor Rotor

感应电机转子主要分为如下两种结构：

鼠笼结构也是片摞起来的，中间插几根铜棒或者铝棒，最后两端短路（不需要接电源或者电阻）实现。

定子首先产生旋转磁场，旋转的磁场让转子产生电动势，从而短路的转子中产生电流，根据洛伦兹力产生旋转的效果。这就是同步电机的工作效果，不过转子速度永远会略低于定子转速。

同步转速计算 Synchronous Speed：

f 是供电频率，p 是磁极对数 pairs of magnetic poles，也就是每相使用的绕组对数 number of pairs of winding sets used per phase.

转速差计算 slip：

很简单，转子转速落后定子转速多少。

另一种感应电机转子实现是 phase wound rotor，相比鼠笼结构，内部的金属棒换成了绕组导线来控制速度：

转子和定子的磁极数相同，外接电路控制。电阻减小，电流增大，转速增大。

这种电机可以实现一些简单的控速，比如大转矩启动（多用于带负载的场景，比如电梯），软启动（多次启动保护电机和动态调速，比如起吊机）。

Synchronous Motor Rotor

那么，接下来说到同步电机 synchronous motor。同步电机结合了鼠笼式感应电机的鼠笼结构，以及内部也使用了线圈绕组 coil windings。

一开始启动的时候线圈绕组不工作，转子依靠鼠笼结构像感应电机一样启动。启动一段时间后转子接通直流电源，产生恒定磁场使得转子能和定子同样磁场变换速度的转速进行转动，同步电机因此得名。如果没有鼠笼结构，同步电机没法自启动。

另外，如果负载超过转子可承受范围，转子会滑出同步磁场，也会停转。

同步电机适用于高速高功率，持续性应用，以及转子和定子之间的空隙可以更大 larger air gap，这些是相较异步电机的优势。不过同步电机电路也更为复杂，除非转子使用永磁体，否则就需要一直供电。

总地来说，AC 电机成本低（DC 的 换向器 commutator 和刷子更贵），能达到更高速度，维护成本低（不需要更换电刷，清理之类的）；但是没法低速运行（因为散热问题），而且没法对速度实现精确控制。此外，根据法拉第电磁感应定律，在变化的磁场中 AC 电机还会产生涡流电流 Eddy Currents 带来额外的能量损耗。

DC 更适合需要外部控制速度的场景，而 AC 电机更适合需要长时间高功率运行的场景。不过现如今 DC 电机很多都被 AC 电机+电子速度控制器 electronic speed controller / variable frequency drives 的组合取代（相对来说不用定期更换）。

选择 AC Motor 需要考虑的因素：

• Maximum power requirement
• torque
• speed
• load cycle
• mechanical characteristics

Stepper motors 步进电机

之前介绍的电机都属于 continuous-drive actuators 连续驱动执行器，而步进电机属于 incremental-drive actuators 增量驱动执行器的典型代表。比如：前进 45 度。应用比如打印机，机械狗，3d打印等。

实现方法是转子是磁铁，定子是线圈，特定相位的定子通电吸引转子转到那个角度。

具体实现分为如下三种：

混合式步进电机相比前两种，可控精度更高，转矩密度更大，旋转更加平稳。

如果按照齿轮的齿数 number of stacks of teeth 分类：

Permanent Magnet Step Motor

双相永磁步进电机实现如下图：

2对线圈绕组 2 coils / sets of wings 就叫双相。

可以从图中看出，每个线圈都有三种状态：+1，-1,0 分别代表沿特定方向通电，反向通电，不通电。

过度图示如下，可以同时给两组线圈通电让转子转到45度位置：

Variable Reluctance Step Motor

可变磁阻步进电机，采用金属材质但不是永磁体制作转子，比如纯铁。这样磁阻最小 minimum reluctance. 不过如果没有机械负载，电机停止的时候无法判断停止位置。

工作原理如下图（三相）：

极性反转方式：主要有两种线圈绕组实现方式，分别对应不同的反转方式。

对于只有单绕组的情况，电路必须是 a bipolar drive system 双极驱动系统，这样才能反转电流方向。

而对于两组绕组的情况实现相对简单，可能一个 on off 开关就能解决。当然双极驱动系统也可以和两组绕组组合使用（但是没啥必要）。

双绕组在中高速转速的时候转矩更稳定，更强。

Single Stack Step Motors Calculation

首先我们明确一下，stack, pole, teeth 这些概念指的都是什么。

stack 指的是堆，比如右边两个永磁体堆叠起来的转子结构就叫 2 or 3 stacks。至于 teeth 和 poles 要看好是转子还是定子的声明。

齿距 pitch：定子或者转子两个相邻齿之间的距离。对于上例：

步距角 step angle：

对于上例，步距角=15°

如果就上图的电机状态，ccw 逆时针旋转的话，相位启动顺序应该是 1 2 3 1……当前状态再打开相位2，会转动15°，再打开相位3再转动15毒以此类推。cw 顺时针旋转的话开启顺序是 1 3 2 1.

当然也有可能使用半步步长 half step size，比如当前是开启相位1，保持相位1不动再开启相位2，齿隙就会转到12中间，7.5°。开启顺序就是加一下过渡，比如 ccw 1 12 2 23 3 31 1 这样。

假设需要 p 次切换才会结束一个完整的切换周期，$$p=\theta _r / \Delta \theta$$

the number of steps per revolution：$$n=360\degree/\Delta \theta$$

例题：求步距角。

想增加步进角，就需要增加 stator 或者 rotor 的极数。同时受线圈绕组体积导致数量限制，也可以通过 toothed poles in the stator 结构实现：

分辨率更高，扭矩更大，可以驱动更大的负载，扭矩切换也更为平滑。

Hybrid Step Motors

混合步进电机最常见。rotor 由两个磁极相反的 stacks 组成，rotor 和 stator 齿数相同，双相。

两个 stacks 之间相差 1/4 齿距。

一个周期的相位输入是：[0, 1] [-1, 0] [0, -1] [1, 0] [0, 1]

θ=θr=θs=tooth pitch angle.

至于 half-stepping sequence 和之前的方法一样。

Driver and Controller

控制器用于产生脉冲信号，驱动器用于翻译解释信号。驱动器包括外供能的翻译器 Translator，信号放大器等组件。

对于电机分析，我们重点考虑电机对于单脉冲 single pulse 的响应。

如下图，左图是动态转矩（可能会受到很多因素影响所以不稳定），右图是静态转矩和角度的关系，可以看出简化后就是一个正弦关系。

最简单的步进电机模型：torque source model 扭矩源模型。

比如还是带入上图中右边的 VR 图，n_r=2, n_s=6, △θ=60°，p=3. T=-Tmax sin 2θ。

当然这只是最简单的模型。

Stepper Motor Selection and Applications

在评估步进电机之前，我们还是先学习一些概念。

• Maximum Torque：最大转矩不用解释。
• pull-in Torque curve：步进电机从静止启动时，仍能不丢步的最大负载转矩和频率的关系曲线。
• pull-out Torque curve：步进电机运行中，允许最大负载而不脱同步的边界曲线。
• Maximum Pull in pulse rate：电机从静止启动允许的最大频率。
• Maximum Pull out pulse rate：电机运行时不脱同步的最大频率。
• Start Range：即 Pull in Torque curve 下面的部分，电机从静止启动，加速，减速并保持同步的范围。
• Slew Range：即 Pull in out curve 中间的部分。电机不能直接从静止起动到这里，但是如果从低速逐步加速进入，则可以保持同步运行。

具体对于步进电机的选择，首先列出我们对步进电机的要求，比如速度加速度负载等等。

第二步，计算操作力矩和步进率。

第三步，根据前两步的要求绘制 speed-torque 曲线，在其中寻找符合要求的步进电机。

第四步，如果没有符合要求的步进电机，更新要求重新选择。

需要考虑的参数可能有：

步进电机的优点：

• position error 不是累积的 noncumulative。所以即使是开环控制 open-loop control，没有 feedback，精度也仍然不错。
• 成本相对较低。而且使用开环模式的话，控制器成本会进一步降低。
• 其指令和增量的运动性质很容易被数字控制应用采用。
• 稳定性好。
• 可以优化扭矩容量和功率要求 torque capacity and power，比如步进的时候电流增加，静止的时候电流减小节省能耗。
• brushless 结构，之前我们已经说了有诸多优点，不用定期更换，清理，更加方便。

缺点在于：

• 速度慢；
• 提高速度，温度也会急剧升高；
• 振动强（因为其阶梯状运动的特性）；
• 如果开环控制错过一个 step，误差和震荡会大幅增大。

Hydraulic Actuators 液压执行器

将不可压缩的液体（如液压油）加压到最大程度（一般电能是最初来源），使得转换为机械能。

单位：Pounds per square inch (PSI) 磅/平方英寸，表示气体或者液体对容器施加的压力。

如下图，我们使用电能驱动 AC 电机，转化为机械能，机械能作用于液压泵转换为液压能，再转化为机械能。

那为什么要多此一举，中间加这么一个液压系统呢？

因为有的时候可能负载需要的扭矩比电动机提供的大一个数量级，或者需要电动机用非常复杂精细的齿轮结构与之匹配。

相比用更高造价的符合要求的电机，液压能可以提供高响应，高冲击，高功率密度的力矩，甚至可以同时给多台机器供能。结构也很简单，就是需要直线运动，也不需要什么 gear box 齿轮箱，生产也很方便。也不需要冷却 cooling（因为液压液体本来就是热的），还能起到润滑作用 Self lubricating，相对也更安全。

缺点在于，工作效率不高；reservoir 存储 leak 泄露问题是最大问题；非线性系统比较复杂（比如开10%的闸门，和开20%的闸门，提供的能量不一样）；而且多执行器同步运行也比较复杂；噪声比较大。

应用场景：比如交通工具转向，刹车，飞机起落架，液压机等。

Hydraulic Pumps 液压泵

主要分为三种：

不过在系统控制中一般只重点关注泵的容量，类型不太重要。

cylinder 液压缸

结构如下：

主要的结构：

• Barrel 桶
• piston 活塞
• piston rod 活塞杆
• end cover 就是大致在图中 seal 附近，负责封住桶和活塞杆之间的缝隙。

另外液压缸主要有两种结构，一种是只有一个 port 的 Single acting with a single port，另一种是两端两个 ports 的 double acting with double ports。

单 port 原理如下：

双 ports 原理如下，一侧进液体来挤压活塞：

假设液压缸半径 R，则截面积 A=πR^2，如果作用了 p 的压力，extended force Fe=pA.

对于如下的双口液压缸结构，收缩力要用截面积-活塞杆截面积的面积算。

annulus area, Aa=A-πr^2

maximum retract force is Fr=pAa.

可见（最大）收缩力是小于（最大）扩张力的。

如下是一种最简单的液压缸应用：液压滑块 hydraulic ram。

容积和操作速度决定了油的流速，进而可以求出容积效率：

如果发生泄露，泄露和泄露系数，压降有关。最终的合成流量是泄露流速+油流速。

整体机械效率计算：

pump 的正好相反：

Control Valves 控制阀门

液体必须以积极，可靠的方式流出 positive and reliable manner。

用于控制液体流出的direction, speed, pressure

如下三种阀门，分别是控制流向，流速，压力的。

Relief Valve 的工作方式不那么直观。解释如下图：

https://www.humix.com/video/aa2b524d06c0bd8479e46c753d727e36382d94a0315a34d77de37d3a3d5449a8

下方的回路中，液体沿 CCW 方向旋转。如果液体压力过大，我们就打开金色的 Relief Valve 使其沿着虚线流出液体，在 Tank 处汇合减小液体压力。

Pressure Relief Valve 内部结构如上上图中所示，可以调节弹簧松紧度。当下方液体压强过大，就会向上挤压弹簧，并挤开虚线通路。所以我们调节合适的弹簧松紧度之后，这个系统是可以自动开启应对过大压强的，放置损坏 cylinder。

spool valve 是一种既能调节流向，又能调节流速的控制阀门。如下图，关键结构就是 spool rod 和 land，通过电信号控制 spool rod 左右移动，从而改变流向和流速。

完结撒花！